Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\frac{-{2}^{x}+b}{{2}^{x+1}+a}$在實數(shù)集R上定義，a，b是方程${5}^{{x}^{2}-3x+1}=\frac{1}{5}$的實根，且a＞b．
（1）求a，b的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（3）證明函數(shù)f（x）在R上是減函數(shù)；
（4）若對任意的實數(shù)t，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題可知x²-3x+1=-1，可求出a，b的值；
（2）判斷f（-x）和f（x）的關(guān)系，得出函數(shù)的奇偶性；
（3）利用定義法任意取x₁，x₂，且＜，則f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$＞0，進(jìn)而得出函數(shù)的單調(diào)性；
（4）利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性整理不等式得3t²-2t＞k恒成立，只需求出左式的最小值即可．

解答 解：（1）a，b是方程${5}^{{x}^{2}-3x+1}=\frac{1}{5}$的實根，且a＞b，
∴x²-3x+1=-1，
∴a=2，b=-1；
（2）設(shè)任意的x，則
f（-x）=$\frac{-{2}^{x}+1}{{2}^{-x+1}+2}$=$\frac{-1+{2}^{x}}{2+{2}^{x+1}}$=-f（x），
∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
（3）由（1）得f（x）=$\frac{-{2}^{x}+1}{{2}^{x+1}+2}$，
任意取x₁，x₂，且＜，則f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$＞0，
∴函數(shù)f（x）在R上是減函數(shù)；
（4）∵f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0
∴f（t²-2t）＜-f（2t²-k），
∴f（t²-2t）＜f（-2t²+k），
∴t²-2t＞-2t²+k，
∴3t²-2t＞k恒成立，
∴k＜$-\frac{1}{3}$．

點評 考查了用定義法判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，和這些性質(zhì)的應(yīng)用，屬于經(jīng)典試題，應(yīng)熟練掌握，并學(xué)會歸類．