Question

已知函數(shù)f（x）對任意x，y∈R都滿足f（x+y）=f（x）+f（y）+1，且f（

1

2

）=0，數(shù)列{a_n}滿足：a_n=f（n），n∈N^*．
（Ⅰ）求f（0）及f（1）的值；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）若b_n=（

1

4

） an-（

1

2

） 3+an，試問數(shù)列{b_n}是否存在最大項和最小項？若存在，求出最大項和最小項；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用賦值法，分別令x=y=0，x=y=

1

2

，求得f（0）及f（1）的值；
（Ⅱ）令x=n，y=1，得f（n+1）=f（n）+2，即a_n+1-a_n=2，問題得以解決；
（Ⅲ）數(shù)列{b_n}存在最大項和最小項，利用換元和配方法，去求最值

解答： 解：（Ⅰ）在f（x+y）=f（x）+f（y）+1中，取 x=y=0，得f（0）=-1，
在f（x+y）=f（x）+f（y）+1中，取x=y=

1

2

，得f（1）=1，
（Ⅱ）在f（x+y）=f（x）+f（y）+1中，令x=n，y=1，
得f（n+1）=f（n）+2，即a_n+1-a_n=2，
所以數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，公差為2，又首項a₁=f（1）=1，所以a_n=2n-1，n∈N^*．
（Ⅲ）數(shù)列{b_n}存在最大項和最小項，
令t=(

1

2

)an=(

1

2

)2n-1，則bn=t2-

1

8

t=(t-

1

16

)2-

1

256

，
顯然0＜t≤

1

2

，又因為n∈N^*，
所以當(dāng)t=

1

2

，即n=1時，數(shù)列{b_n}的最大項為b1=

3

16

．
當(dāng)t=

1

32

，即n=3時，數(shù)列{b_n} 的最小項為b3=-

3

1024

．

點評：本題主要考查了抽象函數(shù)的應(yīng)用，以及等差數(shù)列，函數(shù)的最值問題，靈活轉(zhuǎn)化時關(guān)鍵，屬于中檔題．