Question

若數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，對任意正整數(shù)n都有6S_n=1-2a_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若c₁=0，且對任意正整數(shù)n都有c_n+1-c_n=log 

1

2

a_n，求證：對任意n≥2，n∈N^*都有

1

c2

+

1

c3

+…+

1

cn

＜

3

4

．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）令n=1可求a1=

1

8

，當n≥2時，由6S_n=1-2a_n，得6S_n-1=1-2a_n-1，兩式相減可得遞推式，由此可判斷{a_n}是等比數(shù)列，可求a_n；
（2）易得c_n+1-c_n=log 

1

2

a_n=2n+1，利用累加法可求得c_n，進而可得

1

cn

=

1

(n-1)(n+1)

=

1

2

(

1

n-1

-

1

n+1

)，利用裂項相消法可求得

1

c2

+

1

c3

+…+

1

cn

，進而可得結論；

解答： 解：（1）當n=1時，6S₁=1-2a₁．解得a1=

1

8

；
當n≥2時，6S_n=1-2a_n①，6S_n-1=1-2a_n-1②，
①-②，化簡得

an

an-1

=

1

4

，
∴{a_n}是首項為

1

8

，公比為

1

4

的等比數(shù)列，
∴an=

1

8

•(

1

4

)n-1=(

1

2

)2n+1．
（2）∵c_n+1-c_n=log 

1

2

a_n=2n+1，
∴當n≥2時，c_n=（c_n-c_n-1）+（c_n-1-c_n-2）+…+（c₂-c₁）+c₁=（2n-1）+（2n-3）+…+3+0=n²-1，
∴

1

cn

=

1

(n-1)(n+1)

=

1

2

(

1

n-1

-

1

n+1

)，
∴

1

c2

+

1

c3

+…+

1

cn

=

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n-2

-

1

n

+

1

n-1

-

1

n+1

)=

1

2

(1+

1

2

-

1

n

-

1

n+1

)=

3

4

-

1

2

(

1

n

+

1

n+1

)＜

3

4

．

點評：該題考查由遞推式求數(shù)列通項、等比數(shù)列的通項公式、數(shù)列求和，考查學生的運算求解能力，裂項相消法對數(shù)列求和是高考考查的重點內容，要熟練掌握．