Question

4．已知集合A={z||z-2|≤2}，B={z|z=$\frac{1}{2}$z₁i+b，z₁∈A，b∈R}．
（1）若A∩B=∅，求b的取值范圍；
（2）若A∩B=B，求b的值．

Answer 1

分析 （1）確定A，B的含義，A∩B≠∅，有兩個臨界位置（兩圓外切），臨界位置左右兩側(cè)都是A∩B=∅，即可求b的取值范圍；
（2）若A∩B=B，由（1）知，b的值．

解答 解：（1）集合A表示以（2，0）為圓心，2為半徑的圓及圓內(nèi)部，
B：∵z=$\frac{1}{2}$z₁i+b，∴z₁=-2i（z-b）
∴z₁-2=-2i（z-b）+2i•i=-2i（z-b-i）
∴|z₁-2|=|-2i|•|x-b-i|=2•|z-（b+i）|≤2，
∴|z-（b+i）|≤1，
∴B表示的點是以（b，0）為圓心，1為半徑的圓及圓內(nèi)部，
A∩B≠∅，有兩個臨界位置（兩圓外切），臨界位置左右兩側(cè)都是A∩B=∅，
兩圓內(nèi)切時，A∩B=B，圓心的距離=半徑的差，即（b-2）²+1²=（2-1）²，∴b=2，
外切時，圓心的距離=半徑的和，即（b-2）²+1²=（1+2）²，∴b=2±2$\sqrt{2}$，
∴A∩B=∅，b的取值范圍是（-$∞，2-2\sqrt{2}$）∪（2+2$\sqrt{2}$，+∞）；
（2）若A∩B=B，由（1）知，b=2．

點評 此題考查了交集及其運算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵．