Question

16．已知|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=6，向量$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow$，∠AOB=θ．
（1）若θ=90°，求|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|與|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|；
（2）若θ=60°，求|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|與|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|；
（3）若θ=120°，求|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|與|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|；
（4）若θ確定，則|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|與|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|能否確定？并求當(dāng)θ變化時(shí)它們的取值范圍．

Answer 1

分析 先根據(jù)向量的數(shù)量積和向量模得到|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=6$\sqrt{2（1+cosθ）}$，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=6$\sqrt{2（1-cosθ）}$，然后分別代值計(jì)算即可．

解答 解：由于|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|²=|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow$|²+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow$|²+2|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|cosθ=72+72cosθ=72（1+cosθ），
|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|²=|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow$|²-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow$|²-2|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|cosθ=72-72cosθ=72（1-cosθ），
故|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=6$\sqrt{2（1+cosθ）}$，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=6$\sqrt{2（1-cosθ）}$；
（1）若θ=90°，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=6$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=6$\sqrt{2}$
（2）若θ=60°，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=6$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=6，
（3）若θ=120°，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=6，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=6$\sqrt{3}$，
（4）若θ確定，則|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|與|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|能確定，
∵0≤θ≤180°，
∴-1≤cosθ≤1，
∴0≤1+cosθ≤2，0≤1-cosθ≤2，
∴0≤|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|≤6$\sqrt{2}$，0≤|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|≤6$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了向量的數(shù)量積的運(yùn)算，以及向量模的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．