6．設f°（x）=cosx，f1（x）=f0′（x），f2（x）=f1′（x），…，fn（x）=f′n-1（x）（n∈N*），則f2011（x）=（　　）
A．cosxB．-sinxC．-cosxD．sinx

分析 由已知，f0（x）=cosx，f1（x）=f0′（x）=-sinx，f2（x）=f1′（x）=-cosx，f3（x）=f2′（x）=sinx，f4（x）=f3′（x）=cosx，發(fā)現(xiàn)fn（x）以4為周期，結果循環(huán)出現(xiàn)，利用此規(guī)律將n=2011轉化為n=3的情況求解．

解答 解：∵f0（x）=cosx，
∴f1（x）=f0′（x）=-sinx，
f2（x）=f1′（x）=-cosx，
f3（x）=f2′（x）=sinx，
f4（x）=f3′（x）=cosx
…
從第五項開始，fn（x）的解析式重復出現(xiàn)，每4次一循環(huán)．
∴f2011（x）=f4×502+3（x）=f3（x）=sinx，
故選：D．

點評 本題考查函數(shù)求導運算，由于f2011（x）中下標數(shù)值2011較大，所以探究fn（x）的周期性成為必要與自然，屬于基礎題．

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