【題目】已知函數(shù)()在其定義域內(nèi)有兩個不同的極值點.
(Ⅰ)求實數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)記兩個極值點分別為, (),求證: .
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)見解析
【解析】試題分析:(Ⅰ)求導(dǎo),將函數(shù)由兩個不等極值轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)有兩個不等零點,再進一步轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點問題;(Ⅱ)合理構(gòu)造函數(shù),將證明不等式轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題,再利用導(dǎo)數(shù)進行求解.
試題解析:(Ⅰ)依題,函數(shù)的定義域為,所以方程在有兩個不同根,即方程在有兩個不同根.即函數(shù)與函數(shù)的圖象在上有兩個不同交點,可見,若令過原點且切于函數(shù)圖象的直線斜率為,只須.令切點,所以,又,所以,
解得, ,于是,所以.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知, 分別是方程的兩個根,即.
作差得, ,即.
所以不等式,等價于,
下面先證,即證,
令,∵,∴,即證(),
令(),則,
∴在上單調(diào)遞增,∴,
即得證,從而得證;
再證,即證,即證(),
令(),則,
∴在上單調(diào)遞減,∴,
即得證,從而得證,
綜上所述, 成立,即.
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【題目】如圖,⊙O是等腰三角形ABC的外接圓,AB=AC,延長BC到點D,使CD=AC,連接AD交⊙O于點E,連接BE與AC交于點F.
(1)判斷BE是否平分∠ABC,并說明理由;
(2)若AE=6,BE=8,求EF的長.
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【題目】已知函數(shù),記不等式f(x)≤4的解集為M,記函數(shù)的定義域為集合N.
(Ⅰ)求集合M和N;
(Ⅱ)求M∩N和M∪(RN).
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【題目】已知方程x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t4+9=0(t∈R)的圖形是圓.
(1)求t的取值范圍;
(2)求圓的面積取最大值時t的值;
(3)若點P(3,4t2)恒在所給圓內(nèi),求t的取值范圍.
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【題目】已知f(x)為一次函數(shù),g(x)為二次函數(shù),且f[g(x)]=g[f(x)].
(1)求f(x)的解析式;
(2)若y=g(x)與x軸及y=f(x)都相切,且g(0)= ,求g(x)的解析式.
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【題目】已知函數(shù)在和處取得極值.
(1)求f(x)的表達式和極值.
(2)若f(x)在區(qū)間[m,m+4]上是單調(diào)函數(shù),試求m的取值范圍.
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【題目】已知關(guān)于x的不等式|x﹣3|+|x﹣m|≥2m的解集為R. (Ⅰ)求m的最大值;
(Ⅱ)已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=m,求4a2+9b2+c2的最小值及此時a,b,c的值.
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