Question

5．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為e=$\frac{1}{2}$，以原點為圓心，橢圓短半軸長為半徑的圓與直徑x-y+$\sqrt{6}$=0相切．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)過點（-1，0）的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，試問在x軸上是否存在一個定點M，使得$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$恒為定值？若存在，求出該定值及點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）以原點為圓心，橢圓短半袖長為半徑的圓與直徑x-y+$\sqrt{6}$=0相切．可得$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}$=b，又$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，a²-c²=b²，解出即可．
（2）假設(shè)在x軸上存在一個定點M（m，0），使得$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$恒為定值．當AB⊥x軸時，可得A$（-1，\frac{3}{2}）$，B$（-1，-\frac{3}{2}）$，則$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=（1+m）²-$\frac{9}{4}$．當l與x軸重合時，取A（-2，0），B（2，0），$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=m²-4，可得m=$-\frac{11}{8}$．定值-$\frac{135}{64}$．假設(shè)直線l的斜率存在且不為0，設(shè)直線l的方程為：y=k（x+1）．A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．與橢圓方程聯(lián)立化為一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系、數(shù)量積運算性質(zhì)即可證明．

解答 解：（1）∵以原點為圓心，橢圓短半袖長為半徑的圓與直徑x-y+$\sqrt{6}$=0相切．
∴$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}$=b，又$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，a²-c²=b²，
解得b²=3，c=1，a=2．
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）假設(shè)在x軸上存在一個定點M（m，0），使得$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$恒為定值．
當AB⊥x軸時，可得A$（-1，\frac{3}{2}）$，B$（-1，-\frac{3}{2}）$，則$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=（1+m）²-$\frac{9}{4}$．
當l與x軸重合時，取A（-2，0），B（2，0），$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=m²-4，
于是$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=（1+m）²-$\frac{9}{4}$=m²-4，解得m=$-\frac{11}{8}$．
下面證明：在x軸上存在一個定點M（-$\frac{11}{8}$，0），使得$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$恒為定值-$\frac{135}{64}$．
假設(shè)直線l的斜率存在且不為0，設(shè)直線l的方程為：y=k（x+1）．A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，
化為（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，
∴x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，x₁+x₂=$\frac{-8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$．
∴y₁y₂=k²（x₁+1）（x₂+1）=k²（x₁+x₂+x₁x₂+1）．
∴$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=$（{x}_{1}+\frac{11}{8}，{y}_{1}）$•$（{x}_{2}+\frac{11}{8}，{y}_{2}）$
=x₁x₂+$\frac{11}{8}（{x}_{1}+{x}_{2}）$+$\frac{121}{64}$+y₁y₂
=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$+$\frac{11}{8}×\frac{-8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$+$\frac{121}{64}$+${k}^{2}（\frac{4{k}^{2}-12-8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}+1）$
=$\frac{121}{64}$-4
=$-\frac{135}{64}$．
∴在x軸上存在一個定點M（-$\frac{11}{8}$，0），使得$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$恒為定值-$\frac{135}{64}$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立化為一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、數(shù)量積運算性質(zhì)、定值問題，考查了探究問題、分類討論思想方法、推理能力與計算能力，屬于難題．