Question

20．已知f（x）=alnx+x²+bx，且x=1是f（x）極值點，若y=f（x）有且僅有一個零點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，由題意可得f′（1）=0，可得b=-2-a，對a討論，①當(dāng)a=0時，②當(dāng)a＜0時，③當(dāng)a＞0且a≠2時，討論單調(diào)性和極值或最值，結(jié)合函數(shù)的圖象，解方程或不等式，即可得到a的范圍．

解答 解：f（x）=alnx+x²+bx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{a}{x}$+2x+b，
由x=1是f（x）極值點，則f′（1）=0，
即有a+b=-2，
即有f′（x）=$\frac{a+2{x}^{2}-（2+a）x}{x}$=$\frac{（x-1）（2x-a）}{x}$，
顯然a≠2，
①當(dāng)a=0時，f（x）=x²-2x，x＞0，函數(shù)f（x）有且只有一個零點2，成立；
②當(dāng)a＜0時，當(dāng)x＞1時，f′（x）＞0，f（x）遞增，
當(dāng)0＜x＜1時，f′（x）＜0，f（x）遞減．
即有f（x）在x=1處取得最小值，且為1+b=-1-a，
當(dāng)-1-a=0即a=-1時，f（x）有且只有一個零點；
③當(dāng)a＞0且a≠2時，函數(shù)有兩個極值點1，$\frac{a}{2}$，
當(dāng)f（1）＜0且f（$\frac{a}{2}$）＜0，函數(shù)f（x）有且只有一個零點，
即有1+b＜0，且aln$\frac{a}{2}$+$\frac{1}{4}$a²+$\frac{ab}{2}$＜0，
即為-1-a＜0，且ln$\frac{a}{2}$-1-$\frac{1}{4}$a＜0，
令g（a）=ln$\frac{a}{2}$-1-$\frac{1}{4}$a，g′（x）=$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{4}$，
可得a=4處附近，導(dǎo)數(shù)左正右負(fù)，f（x）取得極大值，也為最大值，且為ln2-2＜0，
則有a＞0且a≠2，f（x）恒有一個零點．
綜上可得a的取值范圍是a≥0且a≠2或a=-1．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，主要考查函數(shù)的零點的求法，注意運用函數(shù)的最小值為0和小于0，同時考查分類討論的思想方法，屬于中檔題和易錯題．