Question

15．若函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（1-3a）^{2-x}+a-2（x＜1）}\\{lo{g}_{2a+1}x+5{a}^{2}+4a（x≥1）}\end{array}\right.$，對(duì)任意x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． （-$\frac{1}{2}$，0）
• B． （-1，-$\frac{1}{2}$）
• C． （-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{5}$]
• D． [-$\frac{1}{5}$，0）

Answer 1

分析 若對(duì)任意x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜0，則函數(shù)f（x）在R上為減函數(shù)，則函數(shù)在各段上均為減函數(shù)，且當(dāng)x=1時(shí)，左段函數(shù)值不小于右段函數(shù)值，進(jìn)而可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：若對(duì)任意x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜0，
則函數(shù)f（x）在R上為減函數(shù)，
則$\left\{\begin{array}{l}1-3a＞1\\ 0＜2a+1＜1\\ 1-3a+a-2≥5{a}^{2}+4a\end{array}\right.$，
解得：a∈（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{5}$]，
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性，熟練掌握并正確理解分段函數(shù)的單調(diào)性是解答的關(guān)鍵．