Question

17．對(duì)一批產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)，方案如下：先從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn)．
（1）如果這4件產(chǎn)品中有三件優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品，則從這批產(chǎn)品中再任取4件進(jìn)行檢驗(yàn)若都為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)；
（2）如果這4件產(chǎn)品全為優(yōu)質(zhì)品，則再?gòu)倪@批產(chǎn)品中任取1件作檢驗(yàn)，若為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)；
（3）其他情況下，這批產(chǎn)品都不能通過(guò)檢驗(yàn)．
假設(shè)取出的產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率都為$\frac{1}{2}$，且各件產(chǎn)品是否為優(yōu)質(zhì)品相互獨(dú)立．
（Ⅰ）求這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)的概率；
（Ⅱ）已知每件產(chǎn)品檢驗(yàn)費(fèi)用為80元，且抽出的每件產(chǎn)品都需要檢驗(yàn)，對(duì)這批產(chǎn)品作質(zhì)量檢驗(yàn)所需的費(fèi)用記為X（單位：元），求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)立事件得出第一次取出的4件產(chǎn)品中恰有3件優(yōu)質(zhì)品為事件A，第一次取出的4件產(chǎn)品中全為優(yōu)質(zhì)品為事件B，第二次取出的4件產(chǎn)品都是優(yōu)質(zhì)品為事件C，第二次取出的1件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品為事件D，這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)記為事件，AB與CD互斥，根據(jù)互斥事件概率求解即可．
（II）確定X的可能取值為640，400，320，求解概率P（X=640）=C${\;}_{4}^{3}$）（$\frac{1}{2}$）⁴，
P（X=400）=（$\frac{1}{2}$）⁴=$\frac{1}{16}$，P（X=320）．列出分布列即可得出數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)第一次取出的4件產(chǎn)品中恰有3件優(yōu)質(zhì)品為事件A，第一次取出的4件產(chǎn)品中全為優(yōu)質(zhì)品為事件B，第二次取出的4件產(chǎn)品都是優(yōu)質(zhì)品為事件C，第二次取出的1件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品為事件D，這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)記為事件E．
根據(jù)題意，有E=（AB）∪（CD），且AB與CD互斥，
∴P（E）=P（AB）+P（CD）=P（A）P（B|A）+P（C）P（D|C）
=${C}_{4}^{3}$（$\frac{1}{2}$）³×$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2}$）⁴+（$\frac{1}{2}$）⁴×$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{64}$；       
（Ⅱ）X的可能取值為640，400，320，分別對(duì)應(yīng)檢驗(yàn)方案中的（1），（2），（3）．
∵P（X=640）=C${\;}_{4}^{3}$）（$\frac{1}{2}$）⁴=4×$\frac{1}{16}$=$\frac{1}{4}$，
P（X=400）=（$\frac{1}{2}$）⁴=$\frac{1}{16}$，
P（X=320）=1-$\frac{4}{16}-\frac{1}{16}=\frac{11}{16}$，
∴X的分布列為

X	640	400	320
P	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{16}$	$\frac{11}{16}$

所以，EX=640×$\frac{1}{4}+400×\frac{1}{16}+320×\frac{11}{16}$=405．

點(diǎn)評(píng) 本題考察了概率在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，考察了學(xué)生的閱讀分析能力，計(jì)算能力，屬于中檔題．