(2012•天津模擬)已知橢圓的中心是坐標原點O,焦點在x軸上,短軸長為2,且兩個焦點和短軸的兩個端點恰為一個正方形的頂點.過右焦點F與x軸不垂直的直線l交橢圓于P,Q兩點.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)在線段OF上是否存在點M(m,0),使得|MP|=|MQ|?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,請說明理由.
分析:(Ⅰ)先確定橢圓的短半軸長,再根據(jù)兩個焦點和短軸的兩個端點恰為一個正方形的頂點,即可求出橢圓的方程;(Ⅱ)分類討論:(1)若l與x軸重合時,顯然M與原點重合,m=0;(2)若直線l的斜率k≠0,則可設l:y=k(x-1),與橢圓的方程聯(lián)立,確定PQ的中點橫坐標,進而可得PQ的中點的坐標,根據(jù)|MP|=|MQ|,即可求得m的取值范圍.
解答:解:(Ⅰ)因為橢圓的短軸長:2b=2⇒b=1,
又因為兩個焦點和短軸的兩個端點恰為一個正方形的頂點,所以:b=c⇒a2=b2+c2=2;
故橢圓的方程為:
x2
2
+y2=1
…(4分)
(Ⅱ)(1)若l與x軸重合時,顯然M與原點重合,m=0;
(2)若直線l的斜率k≠0,則可設l:y=k(x-1),設P(x1,y1),Q(x2,y2)則:
y=k(x-1)
x2+2y2-2=0
x2+2k2(x2-2x+1)-2=0

所以化簡得:(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0;x1+x2=
4k2
1+2k2
PQ的中點橫坐標為:
2k2
1+2k2
,
代入l:y=k(x-1)可得:PQ的中點為N(
2k2
1+2k2
-k
1+2k2
)
,
由于|MP|=|MQ|得到m=
k2
2k2+1

所以:m=
k2
1+2k2
=
1
1
k2
+2
∈(0,
1
2
)
綜合(1)(2)得到:m∈[0,
1
2
)
…(14分)
點評:本題考查橢圓的標準方程,考查直線與橢圓的位置關系,充分利用|MP|=|MQ|是解題的關鍵.
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