Question

已知二次函數(shù)f（x）的最小值為1，且f（0）=f（2）=3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在區(qū)間[

a

2

，a+1]上不單調，求a|a-3|的值域．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）設函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，由題意得

c=3 4ac-b2 4a =1 4a+2b+c=3

，解得a．b．c的值后，可得f（x）的解析式；
（2）若f（x）在區(qū)間[

a

2

，a+1]上不單調，則

a

2

＜1＜a+1，求出a的范圍后，結合二次函數(shù)的圖象和性質可得a|a-3|的值域．

解答： 解：（1）設函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，由題意得

c=3 4ac-b2 4a =1 4a+2b+c=3

．
解得

a=2 b=4 c=3

，…（5分）
∴所求解析式f（x）=2x²+4x+3． …（6分）
（2）由題意知對稱軸在區(qū)間[

a

2

，a+1]內，即

a

2

＜1＜a+1，…（8分）
解得0＜a＜2．  …（10分）
∴a|a-3|=-a²+3a，（0＜a＜2），…（12分）
當a=0時，-a²+3a取最小值0，
當a=

3

2

時，-a²+3a取最大值

9

4

，
其值域為（0，

9

4

]．…（14分）

點評：本題考查的知識點是待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值和值域，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質，是解答的關鍵．