Question

10．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，點(diǎn)A，B分別為橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，且|AB|=$\sqrt{7}$．
（Ⅰ）試求橢圓的方程；
（Ⅱ）斜率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$的直線l與橢圓交于P、Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，求證A、P、B、Q四點(diǎn)共圓．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運(yùn)用離心率公式和兩點(diǎn)的距離公式，結(jié)合橢圓的a，b，c的關(guān)系，可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)直線PQ的方程為$y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}x+m$，聯(lián)立橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，設(shè)過點(diǎn)$A（{2，0}），P（{{x_1}，{y_1}}），B（{0，\sqrt{3}}）$三點(diǎn)圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，證明Q也在此圓上．

解答 解：（Ⅰ）依題意知，$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，$|{AB}|=\sqrt{7}$，
即a²+b²=7，又a²-b²=c²，解得a=2，$b=\sqrt{3}$，
∴橢圓的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
（Ⅱ）設(shè)直線PQ的方程為$y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}x+m$，
P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）在橢圓上，
將直線l的方程代入橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
整理得$3{x^2}+2\sqrt{3}mx+2{m^2}-6=0$，
則△=12m²-12（2m²-6）＞0，${x_1}+{x_2}=-\frac{{2\sqrt{3}m}}{3}，\;\;{x_1}{x_2}=\frac{{2{m^2}-6}}{3}$…①，
又${y_1}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}{x_1}+m$，${y_2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}{x_2}+m$，∴${y_1}+{y_2}=m，\;\;{y_1}{y_2}=\frac{{{m^2}-3}}{2}$…②，
設(shè)過點(diǎn)$A（{2，0}），P（{{x_1}，{y_1}}），B（{0，\sqrt{3}}）$三點(diǎn)圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
于是2D+F+4=0，${x_1}^2+{y_1}^2+D{x_1}+E{y_1}+{F_1}=0$，$\sqrt{3}E+F+3=0$，
∴$D=\frac{{\sqrt{3}E-1}}{2}$，$F=-\sqrt{3}E-3$…③
令${x_2}^2+{y_2}^2+D{x_2}+E{y_2}+F=t$，
∵x₁²+y₁²+Dx₁+Ey₁+F₁=0，
∴$t=（{{x_1}^2+{y_1}^2+D{x_1}+E{y_1}+F}）+（{{x_2}^2+{y_2}^2+D{x_2}+E{y_2}+F}）$
=${（{{x_1}+{x_2}}）^2}-2{x_1}{x_2}+{（{{y_1}+{y_2}}）^2}-2{y_1}{y_2}+D（{{x_1}+{x_2}}）+E（{{y_1}+{y_2}}）+2F$，
將①②③式代入此式，并化簡，得$t=1+\frac{{\sqrt{3}}}{3}m-2\sqrt{3}E$…④，
又$t=（{{x_2}^2+{y_2}^2+D{x_2}+E{y_2}+F}）-（{{x_1}^2+{y_1}^2+D{x_1}+E{y_1}+F}）$
=（x₂+x₁）（x₂-x₁）+（y₂+y₁）（y₂-y₁）+D（x₂-x₁）+E（y₂-y₁），
將①②③式，及${y_2}-{y_1}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}（{{x_2}-{x_1}}）$代入此式，
并化簡，得$t=（{-\frac{{\sqrt{3}}}{6}m+\sqrt{3}E-\frac{1}{2}}）（{{x_2}-{x_1}}）$…⑤，依題意，x₁≠x₂，
由④⑤得，$\frac{2t}{{{x_2}-{x_1}}}+t=0$，∴t=0，或x₂-x₁=-2；
若x₂-x₁=-2，則${（{{x_2}+{x_1}}）^2}-4{x_1}{x_1}=8-\frac{4}{3}m=4$，得m²=3，
∴$m=-\sqrt{3}$或$m=\sqrt{3}$，
此時(shí)直線l經(jīng)過點(diǎn)$（{2，0}），（{0，-\sqrt{3}}）$或$（{-2，0}），（{0，\sqrt{3}}）$，
這與直線l過橢圓在第一象限上的一點(diǎn)P矛盾，
所以t=0，故${x_2}^2+{y_2}^2+D{x_2}+E{y_2}+F=0$，
即點(diǎn)Q在過點(diǎn)A，P，B三點(diǎn)的圓上，所以A，P，B，Q四點(diǎn)共圓．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的離心率公式和方程的運(yùn)用，聯(lián)立直線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，同時(shí)考查四點(diǎn)共圓的證法，屬于中檔題．