Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²-2ax+lnx（a∈R），x∈（1，+∞）．
（1）若函數(shù)f（x）有且只有一個極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）對于函數(shù)f（x）、f₁（x）、f₂（x），若對于區(qū)間D上的任意一個x，都有f₁（x）＜f（x）＜f₂（x），則稱函數(shù)f（x）是函數(shù)f₁（x）、f₂（x）在區(qū)間D上的一個“分界函數(shù)”．已知f₁（x）=（1-a²）lnx，f₂（x）=（1-a）x²，問是否存在實(shí)數(shù)a，使得f（x）是函數(shù)f₁（x）、f₂（x）在區(qū)間（1，+∞）上的一個“分界函數(shù)”？若存在，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f（x）有且只有一個極值點(diǎn)，得到x²-2ax+1＜0恒成立，求出a的范圍即可；
（2）根據(jù)“分界函數(shù)”的定義，只需x∈（1，+∞）時，f（x）-（1-a）x²＜0恒成立且f（x）-（1-a²）lnx＞0恒成立，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出a的范圍即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{{x}^{2}-2ax+1}{x}$，x∈（1，+∞），
令g（x）=x²-2ax+1，由題意得：g（x）在[1，+∞）有且只有1個零點(diǎn)，
∴g（1）＜0，解得：a＞1；
（2）若f（x）是函數(shù)f₁（x）、f₂（x）在區(qū)間（1，+∞）上的一個“分界函數(shù)”，
則x∈（1，+∞）時，f（x）-（1-a）x²＜0恒成立且f（x）-（1-a²）lnx＞0恒成立，
令h（x）=f（x）-（1-a）x²=（a-$\frac{1}{2}$）x²-2ax+lnx，
則h′（x）=$\frac{[（2a-1）x-1]（x-1）}{x}$，
①2a-1≤0即a≤$\frac{1}{2}$時，當(dāng)x∈（1，+∞）時，h′（x）＜0，h（x）遞減，且h（1）=-$\frac{1}{2}$-a，
∴h（1）≤0，解得：-$\frac{1}{2}$≤a≤$\frac{1}{2}$；
②2a-1＞0即a＞$\frac{1}{2}$時，y=（a-$\frac{1}{2}$）x²-2ax的圖象開口向上，
存在x₀＞1，使得（a-$\frac{1}{2}$）${{x}_{0}}^{2}$-2ax₀＞0，
從而h（x₀）＞0，h（x）＜0在（1，+∞）不恒成立，
令m（x）=f（x）-（1-a²）lnx=$\frac{1}{2}$x²-2ax+a²lnx，
則m′（x）=$\frac{{（x-a）}^{2}}{x}$≥0，m（x）在（1，+∞）遞增，
由f（x）-（1-a²）lnx＞0恒成立，得：m（1）≥0，解得：a≤$\frac{1}{4}$，
綜上，a∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$]時，f（x）是函數(shù)f₁（x）、f₂（x）在區(qū)間（1，+∞）上的一個“分界函數(shù)”．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，考查新定義問題，是一道綜合題．