Question

13．在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點O，E是線段OD的中點，AE的延長線與CD交于點F，若$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow a$，$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow b$，則$\overrightarrow{AF}$=（　�。�

• A． $\frac{1}{4}$$\overrightarrow a$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow b$
• B． $\frac{1}{2}$$\overrightarrow a$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow b$
• C． $\frac{2}{3}$$\overrightarrow a$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow b$
• D． $\frac{1}{2}$$\overrightarrow a$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow b$

Answer 1

分析 根據(jù)兩個三角形相似對應(yīng)邊成比例，得到DF與DC的比，再利用平面向量的線性運算與表示，即可求出要求的向量．

解答 解：如圖所示
?ABCD中，△DEF∽△BEA，
∴$\frac{DE}{EB}$=$\frac{DF}{AB}$=$\frac{1}{3}$，
再由AB=CD可得$\frac{DF}{DC}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\overrightarrow{DF}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{DC}$；
又$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow$，
∴$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OD}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow$，
∴$\overrightarrow{DF}$=$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{a}$-$\frac{1}{6}$$\overrightarrow$；
又$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{OD}$-$\overrightarrow{OA}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BD}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CA}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$，
∴$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DF}$=（$\frac{1}{2}$$\overrightarrow$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$）+（$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{a}$-$\frac{1}{6}$$\overrightarrow$）=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow$．
故選：C．

點評 本題主要考查了兩個向量的加減法法則以及其幾何意義，向量是數(shù)形結(jié)合的典型例子，向量的加減運算是用向量解決問題的基礎(chǔ)，是基礎(chǔ)題目．