Question

4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{1}{2}$，左頂點(diǎn)為A（-4，0），過點(diǎn)A作斜率為k（k≠0）的直線l交橢圓C于點(diǎn)D，交y軸于點(diǎn)E．
（1）求橢圓C的方程； 
（2）已知P為AD的中點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)Q，對(duì)于任意的k（k≠0）都有OP⊥EQ，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在說明理由；
（3）若過O點(diǎn)作直線l的平行線交橢圓C于點(diǎn)M，求$\frac{AD+AE}{OM}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的離心率和左頂點(diǎn)，求出a，b，由此能求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）直線l的方程為y=k（x+4），與橢圓聯(lián)立，得，（x+4）[（4k²+3）x+16k²-12）]=0，由此利用韋達(dá)定理、直線垂直，結(jié)合題意能求出結(jié)果．
（3）OM的方程可設(shè)為y=kx，與橢圓聯(lián)立得M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為$x=±\frac{{4\sqrt{3}}}{{\sqrt{4{k^2}+3}}}$，由OM∥l，能求出結(jié)果．

解答 解：（1）∵橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{1}{2}$，左頂點(diǎn)為A（-4，0），
∴a=4，又$e=\frac{1}{2}$，∴c=2．…（2分）
又∵b²=a²-c²=12，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$．…（4分）
（2）直線l的方程為y=k（x+4），
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1\\ y=k（x+4）\end{array}\right.$消元得，$\frac{x^2}{16}+\frac{{{{[k（x+4）]}^2}}}{12}=1$．
化簡(jiǎn)得，（x+4）[（4k²+3）x+16k²-12）]=0，
∴x₁=-4，${x_2}=\frac{{-16{k^2}+12}}{{4{k^2}+3}}$．…（6分）
當(dāng)$x=\frac{{-16{k^2}+12}}{{4{k^2}+3}}$時(shí)，$y=k（\frac{{-16{k^2}+12}}{{4{k^2}+3}}+4）=\frac{24k}{{4{k^2}+3}}$，
∴$D（\frac{{-16{k^2}+12}}{{4{k^2}+3}}，\frac{24k}{{4{k^2}+3}}）$．
∵點(diǎn)P為AD的中點(diǎn)，∴P的坐標(biāo)為$（\frac{{-16{k^2}}}{{4{k^2}+3}}，\frac{12k}{{4{k^2}+3}}）$，
則${k_{OP}}=-\frac{3}{4k}（k≠0）$．…（8分）
直線l的方程為y=k（x+4），令x=0，得E點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4k），
假設(shè)存在定點(diǎn)Q（m，n）（m≠0），使得OP⊥EQ，
則k_OPk_EQ=-1，即$-\frac{3}{4k}•\frac{n-4k}{m}=-1$恒成立，
∴（4m+12）k-3n=0恒成立，∴$\left\{\begin{array}{l}4m+12=0\\-3n=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}m=-3\\ n=0\end{array}\right.$，
∴定點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-3，0）．…（10分）
（3）∵OM∥l，∴OM的方程可設(shè)為y=kx，
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1\\ y=kx\end{array}\right.$，得M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為$x=±\frac{{4\sqrt{3}}}{{\sqrt{4{k^2}+3}}}$，…（12分）
由OM∥l，得$\frac{AD+AE}{OM}=\frac{{|{{x_D}-{x_A}}|+|{{x_E}-{x_A}}|}}{{|{x_M}|}}=\frac{{{x_D}-2{x_A}}}{{|{x_M}|}}$
=$\frac{{\frac{{-16{k^2}+12}}{{4{k^2}+3}}+8}}{{\frac{{4\sqrt{3}}}{{\sqrt{4{k^2}+3}}}}}=\frac{1}{{\sqrt{3}}}•\frac{{4{k^2}+9}}{{\sqrt{4{k^2}+3}}}$…（14分）
=$\frac{1}{{\sqrt{3}}}（\sqrt{4{k^2}+3}+\frac{6}{{\sqrt{4{k^2}+3}}}）≥2\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\sqrt{4{k^2}+3}=\frac{6}{{\sqrt{4{k^2}+3}}}$即$k=±\frac{{\sqrt{3}}}{2}$時(shí)取等號(hào)，
∴當(dāng)$k=±\frac{{\sqrt{3}}}{2}$時(shí)，$\frac{AD+AE}{OM}$的最小值為$2\sqrt{2}$． …（16分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的定點(diǎn)是否存在的判斷與求法，考查代數(shù)式的最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意韋達(dá)定理、直線垂直、橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用．