Question

13．設(shè)集合S?N^*，S≠∅，且滿足下面兩個條件：
①1∉S；②若x∈S，則2+$\frac{12}{x-2}$∈S．
（1）S能否為單元素集合，為什么？
（2）求出只含有兩個元素的集合S；
（3）滿足題設(shè)條件的集合S共有幾個，為什么，能否列出來？

Answer 1

分析 （1）S不是為單元集，通過題意推出方程，直接求解推出x的值即可說明；
（2）通過2+$\frac{12}{x-2}$∈S，利用2+$\frac{12}{x-2}$替換x，求出只含兩個元素的集合S，說明不存在即可．
（3）滿足題設(shè)條件的集合S，通過且2+$\frac{12}{x-2}$x∈N，所以x-2必然是12的約數(shù)，然后一一列舉出來，即可．

解答 解：（1）不能，因為1∉S，x∈S且2+$\frac{12}{x-2}$∈S，
而2+$\frac{12}{x-2}$≠1，
如果S是單元素集，必須2+$\frac{12}{x-2}$=x，
解得x=2±2$\sqrt{3}$，即S中至少存在兩個不同的元素，
所以S不是為單元集．
（2）因為2+$\frac{12}{x-2}$∈S，且x≠1，
用2+$\frac{12}{x-2}$替換x，
即2+$\frac{12}{2+\frac{12}{x-2}-2}$=x而x≠1，
則2+$\frac{12}{x-2}$=x，所以（x-2）²=12，
則x=2±2$\sqrt{3}$，而x∈N，所以x不存在，
即只含兩個元素的集合S不存在．
（3）因為2+$\frac{12}{x-2}$∈S，且x≠1，
用2+$\frac{12}{x-2}$替換x，
即2+$\frac{12}{2+\frac{12}{x-2}-2}$=x，
所以S最多含有3個元素，
很明顯x∈N，且2+$\frac{12}{x-2}$x∈N，所以x-2必然是12的約數(shù)，
則x-2可以為1，2，3，4，6，12，
所以滿足條件的S共有6個．

點評 本題是中檔題，考查集合的參數(shù)的討論，集合中元素的性質(zhì)，考查邏輯推理能力，計算能力．