Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+a}$（a＞0）在[1，+∞）上的最大值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，則a的值為（　　）

• A． $\sqrt{3}$-1
• B． $\frac{3}{4}$
• C． $\frac{4}{3}$
• D． $\sqrt{3}$+1

Answer 1

分析 對函數(shù)f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+a}$（a＞0）進(jìn)行求導(dǎo)，討論a研究函數(shù)在[1，+∞）上的單調(diào)性，而求出最大值，即可得到a的值．

解答 解：f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{a-{x}^{2}}{（a+{x}^{2}）^{2}}$，
當(dāng)a＞1時，x＞$\sqrt{a}$時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)減，
當(dāng)1＜x＜$\sqrt{a}$時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)增，
當(dāng)x=$\sqrt{a}$時，f（x）取得最大值$\frac{2a}{\sqrt{a}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
解得a=$\frac{1}{6}$＜1，不合題意；
當(dāng)a=1時，f（x）在[1，+∞）遞減，f（1）最大，且為$\frac{1}{2}$，不成立；
當(dāng)0＜a＜1時，f（x）在[1，+∞）遞減，f（1）最大，
即f（1）=$\frac{1}{1+a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得a=$\sqrt{3}$-1，
故選A．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值問題，注意運用分類討論的思想方法，屬于研究最值問題的中檔題．