Question

13．設△ABC的內(nèi)角為A，B，C，滿足B-A=$\frac{π}{2}$且B為鈍角，則sinA+sinC的取值范圍．

Answer 1

分析 B-A=$\frac{π}{2}$且B為鈍角，可得A=B-$\frac{π}{2}$，C=π-A-B=$\frac{3π}{2}$-2B，B∈$（\frac{π}{2}，π）$．可得cosB∈（-1，0）．sinA+sinC=-2$（cosB-\frac{1}{4}）^{2}$+$\frac{9}{8}$=f（B），再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：∵B-A=$\frac{π}{2}$且B為鈍角，
∴A=B-$\frac{π}{2}$，C=π-A-B=$π-（B-\frac{π}{2}）$-B=$\frac{3π}{2}$-2B，B∈$（\frac{π}{2}，π）$．
∴cosB∈（-1，0）．
sinA+sinC=$sin（B-\frac{π}{2}）$+sin$（\frac{3π}{2}-2B）$=-cosB-cos2B=-2cos²B-cosB+1
=-2$（cosB-\frac{1}{4}）^{2}$+$\frac{9}{8}$=f（B），
∴f（B）∈（0，1）．
∴sinA+sinC的取值范圍是（0，1）．

點評 本題考查了誘導公式、三角函數(shù)的單調(diào)性、二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．