Question

8．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且點（2，$\sqrt{6}$）在C上．
（1）求C的方程；
（2）過點P（2，1）的直線l與橢圓C交于A，B兩點，且AB的中點恰為P，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且點（2，$\sqrt{6}$）在C上，建立方程，可a²=16，b²=8，即可求出C的方程；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，利用點差法求出直線的向量，可求直線l的方程．

解答 解：（1）∵橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且點（2，$\sqrt{6}$）在C上，
∴$\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{6}{^{2}}$=1
∴a²=16，b²=8，
∴C的方程為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{8}$=1；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=4，y₁+y₂=2；
由（1）知，8x₁²+16y₁²=128，①
8x₂²+16y₂²=128，②
①-②得：8（x₁+x₂）（x₁-x₂）+16（y₁+y₂）（y₂-y₁）=0，
∴32（x₁-x₂）+32（y₂-y₁）=0，
由題意知，直線l的斜率存在，k=-1，
∴直線l的方程為y-1=-（x-2），即x+y-3=0．

點評 本題考查橢圓的標準方程與幾何性質(zhì)，考查點差法求直線方程，正確運用點差法是關(guān)鍵．