Question

【題目】關(guān)于函數(shù)有下述四個結(jié)論：

①函數(shù)的圖象把圓的面積兩等分

②是周期為的函數(shù)

③函數(shù)在區(qū)間上有3個零點(diǎn)

④函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減

其中所有正確結(jié)論的編號是（ ）

A.①③④B.②④C.①④D.①③

Answer 1

【答案】C

【解析】

先利用誘導(dǎo)公式和二倍角公式將函數(shù)化簡為f（x）＝sinx﹣x，因為單位圓既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，所以可以先證明函數(shù)的奇偶性，進(jìn)而即可判斷①，利用函數(shù)的周期性可判斷②，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)遞減，從而可以判斷③④．

解：f（x）＝2sinsin（+）﹣x＝2sincos﹣x＝sinx﹣x，

對于①，因為f（﹣x）＝sin（﹣x）﹣（﹣x）＝﹣sinx+x＝﹣f（x），所以函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對稱，且過圓心，而圓x2+y2＝1也是關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以①正確；

對于②，因為f（x+π）＝sin（x+π）﹣（x+π）＝﹣sinx﹣x﹣π≠f（x），所以f（x）的周期不是π，即②錯誤；

對于③，因為＝cosx﹣1≤0，所以f（x）單調(diào)遞減，所以f（x）在區(qū)間（﹣∞，+∞）上至多有1個零點(diǎn)，

即③錯誤；

對于④，＝cosx﹣1≤0，所以f（x）單調(diào)遞減，即④正確．

故選：C．