Question

已知拋物線y²=2x，過點(diǎn)Q（2，1）作一條直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，求弦AB中點(diǎn)的軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：首先，設(shè)所求的直線方程為：y-1=k（x-2），然后聯(lián)立方程組，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式建立關(guān)系式，求出AB中點(diǎn)M的軌跡方程．

解答： 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
當(dāng)過點(diǎn)Q的直線與x軸垂直時，此時，弦AB中點(diǎn)（2，0），
當(dāng)過點(diǎn)Q的直線與不與x軸垂直時，設(shè)其方程為：y-1=k（x-2），
聯(lián)立方程組

y=k(x-2)+1 y2=2x

，
消去y并整理，得k²x²-2（2k²-k+1）x+4k²-4k+1=0，
∴x₁+x₂=

2(2k2-k+1)

k2

，y₁+y₂=k（x₁+x₂-4）+2=k（

2(2k2-k+1)

k2

-4）+2=

2

k

，
設(shè)弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），
∴

x= x1+x2 2 y= y1+y2 2

，
∴

x= 4k2-2k+2 k2 y= 2 k

，
∴y²-2y-2x+8=0，
∴弦AB中點(diǎn)的軌跡方程y²-2y-2x+8=0．

點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題．