Question

已知λ∈R，函數(shù)f（x）=cosx（λsinx-cosx）+cos²（

π

2

-x），且f（-

π

3

）=f（0），求函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù),正弦函數(shù)的單調性

專題：計算題,函數(shù)的性質及應用,三角函數(shù)的圖像與性質

分析：運用二倍角的正弦、余弦公式及兩角差的正弦公式，化簡和整理，再由正弦函數(shù)的單調增區(qū)間，解不等式即可得到所求區(qū)間．

解答： 解：函數(shù)f（x）=cosx（λsinx-cosx）+cos²（

π

2

-x），
即有f（x）=λsinxcosx-cos²x+sin²x=

1

2

λsin2x-cos2x，
由于f（-

π

3

）=f（0），則

1

2

λsin（-

2π

3

）-cos（-

2π

3

）=0-1，
即有-

3

4

λ=-

3

2

，解得，λ=2

3

．
則f（x）=

3

sin2x-cos2x=2（

3

2

sin2x-

1

2

cos2x）=2sin（2x-

π

6

），
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
解得，kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，
則f（x）的單調增區(qū)間為[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈Z．

點評：本題考查三角函數(shù)的化簡，考查二倍角公式和兩角和差的正弦公式及運用，考查正弦函數(shù)的單調區(qū)間，屬于中檔題．