Question

如圖，幾何體EF-ABCD中，CDEF為邊長(zhǎng)為2的正方形，ABCD為直角梯形，AB∥CD，AD⊥DC，AD=2，AB=4，∠ADF=90°．
（1）求證：AC⊥FB
（2）求二面角E-FB-C的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由題意得，AD⊥DC，AD⊥DF，從而AD⊥FC，DC⊥FC，由此能證明AC⊥FB．
（2）以D為原點(diǎn)，DA，DC，DE所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角E-FB-C的大�。�

解答： 解：（1）證明：由題意得，AD⊥DC，AD⊥DF，且DC∩DF=D，
∴AD⊥平面CDEF，∴AD⊥FC，…（2分）
∵四邊形CDEF為正方形．∴DC⊥FC
由DC∩AD=D∴FC⊥平面ABCD，∴FC⊥AC…（4分）
又∵四邊形ABCD為直角梯形，
AB∥CD，AD⊥DC，AD=2，AB=4
∴AC=2

2

，BC=2

2

，則有AC²+BC²=AB²
∴AC⊥BC
由BC∩FC=C，∴AC⊥平面FCB，∴AC⊥FB．…（6分）
（2）解：由（1）知AD，DC，DE所在直線相互垂直，
故以D為原點(diǎn)，DA，DC，DE所在直線分別為x，y，z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，…（7分）
可得D（0，0，0），F(xiàn)（0，2，2），B（2，4，0），
E（0，0，2），C（0，2，0），A（2，0，0），
由（1）知平面FCB的法向量為

AC

=(-2，2，0)，
∴

EF

=(0，2，0)，

FB

=(2，2，-2)，…（8分）
設(shè)平面EFB的法向量為

n

=(x，y，z)，
則有：

n • EF =0 n • FB =0

⇒

2y=0 2x+2y-2z=0

⇒

y=0 x+y-z=0

令z=1則

n

=(1，0，1)，…（10分）
設(shè)二面角E-FB-C的大小為θ，
cosθ=

n • AC

| n |•| AC |

=

1×(-2)+2×0+0×1

2 •2 2

=-

1

2

，
∵θ∈(0，π)，∴θ=

π

3

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．