Question

7．設a為實數，函數f（x）=x²-2ax．
（Ⅰ）當a=1時，求f（x）在區(qū)間[0，2]上的值域；
（Ⅱ）設函數g（x）=|f（x）|，t（a）為g（x）在區(qū)間[0，2]上的最大值，求t（a）的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化簡f（x）=（x-1）²-1，從而求函數的值域；
（Ⅱ）化簡g（x）=|f（x）|=|x（x-2a）|，從而討論以確定函數的單調性及極值，同時求出端點的函數值，從而確定t（a），再求最小值．

解答 解：（Ⅰ）當a=1時，f（x）=x²-2x=（x-1）²-1，
∵x∈[0，2]，
∴-1≤（x-1）²-1≤0，
∴f（x）在區(qū)間[0，2]上的值域為[-1，0]；
（Ⅱ）g（x）=|f（x）|=|x（x-2a）|，
①當a≤0時，g（x）=x²-2ax在[0，2]上是增函數，
故t（a）=g（2）=4-4a；
②當0＜a＜1時，
g（x）在[0，a）上是增函數，在[a，2a）上是減函數，在[2a，2]上是增函數，
而g（a）=a²，g（2）=4-4a，
g（a）-g（2）=a²+4a-4=（a-2$\sqrt{2}$+2）（a+2$\sqrt{2}$+2），
故當0＜a＜2$\sqrt{2}$-2時，
t（a）=g（2）=4-4a，
當2$\sqrt{2}$-2≤a＜1時，
t（a）=g（a）=a²，
當1≤a＜2時，
g（x）在[0，a）上是增函數，在[a，2]上是減函數，
故t（a）=g（a）=a²，
當a≥2時，
g（x）在[0，2]上是增函數，
t（a）=g（2）=4a-4，
故t（a）=$\left\{\begin{array}{l}{4-4a，a＜2\sqrt{2}-2}\\{{a}^{2}，2\sqrt{2}-2≤a＜2}\\{4a-4，a≥2}\end{array}\right.$，
故t（a）的最小值為t（2$\sqrt{2}$-2）=12-8$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了函數的值域的求法，利用了配方法；同時考查了分類討論的思想應用．