Question

19．已知?jiǎng)狱c(diǎn)M（x，y）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，總滿足$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}$+$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E的方程；
（2）斜率存在且過(guò)點(diǎn)A（0，1）的直線l與軌跡E交于A，B兩點(diǎn)，軌跡E上存在一點(diǎn)P滿足$\sqrt{2}$$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓的定義，即可求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E的方程；
（2）設(shè)直線l的方程為：y=kx+1與橢圓方程聯(lián)立，求出B的坐標(biāo)，利用$\sqrt{2}$$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$，求出P的坐標(biāo)，即可求直線l的方程．

解答 解：（1）$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}$+$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$=2$\sqrt{2}$表示M（x，y）與（-1，0），（1，0）的距離的和為2$\sqrt{2}$，滿足橢圓的定義，且c=1，2a=2$\sqrt{2}$，
∴a=$\sqrt{2}$，b=1，
∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E的方程是$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1；
（2）設(shè)直線l的方程為：y=kx+1，B（x₁，y₁），P（x₀，y₀）．
與$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1聯(lián)立，化為（1+2k²）x²+4kx=0，
∴x₁=-$\frac{4k}{1+2{k}^{2}}$，y₁=$\frac{1-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$
∵$\sqrt{2}$$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$，
∴$\sqrt{2}$（x₀，y₀）=（0，1）+（x₁，y₁），
∴x₀=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x₁=-$\frac{2\sqrt{2}k}{1+2{k}^{2}}$，y₀=$\frac{\sqrt{2}}{1+2{k}^{2}}$，
代入橢圓方程可得：$\frac{1}{2}$（-$\frac{2\sqrt{2}k}{1+2{k}^{2}}$）²+（$\frac{\sqrt{2}}{1+2{k}^{2}}$）²=1，
解得k=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴直線l的方程為：y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、點(diǎn)與橢圓的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．