Question

【題目】已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為．

（1）當(dāng)時(shí)，證明：；

（2）設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，證明：；

（3）若數(shù)列滿足：，，．證明：．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析；（3）詳見(jiàn)解析．

【解析】

（1）由已知結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)可求函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可求的范圍；

（2）先對(duì)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)及（1）的結(jié)論可求函數(shù)的范圍，即可證；

（3）結(jié)合（1）（2）的結(jié)論，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可證．

解：（1）由題知：，

所以，

所以，令，則，

當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減；

所以，即

所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，

所以

又因?yàn)?/span>，所以，

所以

綜上知：當(dāng)時(shí)，

（2）由題意，因?yàn)?/span>

所以

由（1）知：在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，

又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，

所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以

由（1）可知：，又，∴

綜上可知：

（3）由（1）（2）知：

若，，若，

因?yàn)?/span>，∴，，

所以，，

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

所以，從而