Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³-ax²+4，且x=2是函數(shù)f（x）的一個(gè)極小值點(diǎn)．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）求f（x）在區(qū)間[-1，3]上的最大值和最小值，并指出相應(yīng)的x取值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由已知條件得f′（x）=x²-2ax，f′（2）=0，由此能求出a=1．
（2）由f′（x）=x²-2x=x（x-2），令f′（x）=0，得x=0或x=2，列表討論，能求出f（x）在區(qū)間[-1，3]上的最大值和最小值，并能指出相應(yīng)的x取值．

解答： 解：（1）∵f（x）=

1

3

x³-ax²+4，∴f′（x）=x²-2ax，
∵x=2是函數(shù)f（x）的一個(gè)極小值點(diǎn)，
∴f′（2）=0，即4-4a=0，解得a=1，
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)a=1時(shí)，x=2是函數(shù)f（x）的一個(gè)極小值點(diǎn)，
∴a=1．
（2）由（1）知f(x)=

1

3

x3-x2+4，
∴f′（x）=x²-2x=x（x-2），
令f′（x）=0，得x=0或x=2，
當(dāng)x在[-1，3]上變化時(shí)，f′（x），f（x）的變化情況如下：

x	-1	（-1，0）	0	（0，2）	2	（2，3）	3
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	8 3	↑	4	↓	8 3	↑	4

當(dāng)x=-1或x=-2時(shí)，f（x）有最小值

8

3

；
當(dāng)x=0或x=3時(shí)，f（x）有最大值得．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查分類與整合思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等．