Question

7．如圖，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是菱形．側(cè)棱長為5，平面ABCD⊥平面A₁ACC₁，AB=3$\sqrt{3}$，∠BAD=60°，點E是△ABD的重心，且A₁E=4．
（1）求證：平面A₁DC₁∥平面AB₁C；
（2）求棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積．

Answer 1

分析 （1）由AA₁$\stackrel{∥}{=}$CC₁得四邊形A₁ACC₁是平行四邊形，故A₁C₁∥AC．于是A₁C₁∥平面AB₁C．同理可證DC₁∥平面AB₁C，故平面A₁DC₁∥平面AB₁C；
（2）由等邊三角形性質(zhì)計算AE=3，由勾股定理的逆定理得出A₁E⊥AC，從而A₁E⊥平面ABCD，即A₁E為棱柱的高．代入體積公式計算即可．

解答 （1）證明：∵AA₁$\stackrel{∥}{=}$CC₁，
∴四邊形A₁ACC₁是平行四邊形，
∴A₁C₁∥AC．∵AC?平面AB₁C，A₁C₁?平面AB₁C，
∴A₁C₁∥平面AB₁C．
同理可證：DC₁∥平面AB₁C，
∵A₁C₁⊆平面A₁DC₁，DC₁⊆平面A₁DC₁，A₁C₁∩DC₁=C₁，
∴平面A₁DC₁∥平面AB₁C．
（2）解：連結(jié)BD，∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD=60°，
∴△ABD是等邊三角形．
∵點E是△ABD的重心，AB=3$\sqrt{3}$，
∴AE=$\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}AB$=3．又AA₁=5，A₁E=4，
∴$AA_1^2={A_1}{E^2}+A{E^2}$，即A₁E⊥AC，
又∵平面ABCD⊥平面A₁ACC₁，平面ABCD∩平面A₁ACC₁=AC，A₁E⊆平面A₁ACC₁，
∴A₁E⊥平面ABCD．
∵S_菱形ABCD=2S_△ABD=2×$\frac{1}{2}×3\sqrt{3}×3\sqrt{3}×sin60°$=$\frac{27\sqrt{3}}{2}$，
∴棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積V=S_菱形ABCD•A₁E=54$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了面面平行的判定，面面垂直的性質(zhì)，棱柱的體積計算，屬于中檔題．