Question

【題目】做一個(gè)無蓋的圓柱形水桶，若要使其體積是 ，且用料最省，則圓柱的底面半徑為 ．

Answer 1

【答案】3
【解析】設(shè)圓柱的高為h，半徑為r則由圓柱的體積公式可得，πr2h=27π，即 ，要使用料最省即求全面積的最小值，而S全面積=πr2+2πrh= =
（法一）令S=f（r），結(jié)合導(dǎo)數(shù)可判斷函數(shù)f（r）的單調(diào)性，進(jìn)而可求函數(shù)取得最小值時(shí)的半徑
（法二）：S全面積=πr2+2πrh= = ，利用基本不等式可求用料最小時(shí)的r
解：設(shè)圓柱的高為h，半徑為r
則由圓柱的體積公式可得，πr2h=27π

S全面積=πr2+2πrh= =
（法一）令S=f（r），（r＞0）
=
令f′（r）≥0可得r≥3，令f′（r）＜0可得0＜r＜3
∴f（r）在（0，3）單調(diào)遞減，在[3，+∞）單調(diào)遞增，則f（r）在r=3時(shí)取得最小值
（法二）：S全面積=πr2+2πrh= =
= =27π
當(dāng)且僅當(dāng) 即r=3時(shí)取等號(hào)
當(dāng)半徑為3時(shí)，S最小即用料最省
故答案為：3
本題主要考查圓柱的體積及表面積的最值問題。要求用料最省，要根據(jù)實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，即先設(shè)圓柱的高為h，半徑為r，根據(jù)圓柱的體積公式可得到h，要使用料最省，即求圓柱全面積的最小值，根據(jù)公式代入全面積公式，利用不等式即可求解最小值。也可根據(jù)導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性求解最小值問題。