Question

18．已知定理：“實(shí)數(shù)m，n為常數(shù)，若函數(shù)h（x）滿(mǎn)足h（m+x）+h（m-x）=2n，則函數(shù)y=h（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（m，n）成中心對(duì)稱(chēng)”．
（Ⅰ）已知函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}}{x-1}$的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，b）成中心對(duì)稱(chēng)，求實(shí)數(shù)b的值；
（Ⅱ）已知函數(shù)g（x）滿(mǎn)足g（2+x）+g（-x）=4，當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，都有g(shù)（x）≤3成立，且當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，g（x）=2^k（x-1）+1，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由對(duì)稱(chēng)性可得f（1+x）+f（1-x）=2b，化簡(jiǎn)整理，即可得到b=2；
（Ⅱ）由g（2+x）+g（-x）=4可得g（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，2）對(duì)稱(chēng)，且g（1）=2，對(duì)k討論，當(dāng)k=0，k＞0，k＜0，結(jié)合對(duì)稱(chēng)性和單調(diào)性，要使g（x）≤3，只需g（x）_max≤3，運(yùn)用單調(diào)性求得最大值，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}}{x-1}$的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，b）成中心對(duì)稱(chēng)，
可得f（1+x）+f（1-x）=2b，
即有$\frac{（x+1）^{2}}{x}$+$\frac{（1-x）^{2}}{-x}$=4=2b，
解得b=2；
（Ⅱ）由g（2+x）+g（-x）=4可得g（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，2）對(duì)稱(chēng)，
且g（1）=2，
當(dāng)k=0時(shí)，g（x）=2（0≤x≤1），又g（x）關(guān)于（1，2）對(duì)稱(chēng)，
可得g（x）=2（0≤x≤2），顯然g（x）≤3恒成立；
當(dāng)k＞0時(shí)，g（x）=2^k（x-1）+1在[0，1]遞增，又g（x）關(guān)于點(diǎn)（1，2）對(duì)稱(chēng)，
可得g（x）在[0，2]遞增，g（x）≤3，只需g（x）_max=g（2）≤3，
又g（2）+g（0）=4，則g（0）≥1即2^1-k≥1，
即有0≤k≤1；
當(dāng)k＜0時(shí)，g（x）=2^k（x-1）+1在[0，1]遞減，又g（x）關(guān)于（1，2）對(duì)稱(chēng)，
可得g（x）在[0，2]遞減，要使g（x）≤3，只需g（x）_max=g（0）≤3，
即2^1-k≤3，解得1-log₂3≤k＜0．
綜上可得，1-log₂3≤k≤1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性和運(yùn)用，同時(shí)考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，以及不等式恒成立問(wèn)題的解法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．