Question

1．已知直線x-y+a=0與圓心為C的圓x²+y²+2$\sqrt{3}$x-4$\sqrt{3}$y+7=0相交于A，B兩點，且$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=4，則實數(shù)a的值為（　　）

• A． $\sqrt{3}$或-$\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{3}$或3$\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{3}$或5$\sqrt{3}$
• D． 3$\sqrt{3}$或5$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 圓x²+y²+2$\sqrt{3}$x-4$\sqrt{3}$y+7=0，可化為（x+$\sqrt{3}$）²+（y-2$\sqrt{3}$）²=8．利用$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=4，可得∠ACB=60°，圓心到直線的距離為$\sqrt{6}$，即可得出結(jié)論．

解答 解：圓x²+y²+2$\sqrt{3}$x-4$\sqrt{3}$y+7=0，可化為（x+$\sqrt{3}$）²+（y-2$\sqrt{3}$）²=8．
∵$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=4，∴2$\sqrt{2}$•2$\sqrt{2}$cos∠ACB=4
∴cos∠ACB=$\frac{1}{2}$，
∴∠ACB=60°
∴圓心到直線的距離為$\sqrt{6}$，
∴$\frac{|-\sqrt{3}-2\sqrt{3}+a|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{6}$，
∴a=$\sqrt{3}$或5$\sqrt{3}$．
故選：C．

點評 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查向量知識的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．