Question

11．已知球O半徑為$\sqrt{5}$，設(shè)S、A、B、C是球面上四個(gè)點(diǎn)，其中∠ABC=120°，AB=BC=2，平面SAC⊥平面ABC，則棱錐S-ABC的體積的最大值為（　　）

• A． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 3$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 求出底面三角形的面積，底面三角形的所在平面圓的半徑，由平面SAC⊥平面ABC，可將已知中的三棱錐S-ABC補(bǔ)成一個(gè)同底等高的棱柱，即可求解錐S-ABC的體積的最大值．

解答 解：三棱錐O-ABC，A、B、C三點(diǎn)均在球心O的表面上，且AB=BC=2，∠ABC=120°，
∴BC=2$\sqrt{3}$，
∴△ABC外接圓半徑2r=4，即r=2
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×2×2×sin120°=$\sqrt{3}$，OG=$\sqrt{5-4}$=1
由平面SAC⊥平面ABC，可將已知中的三棱錐S-ABC補(bǔ)成一個(gè)同底等高的棱柱，
∴棱錐S-ABC的體積的最大值為$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×2$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故選：A

點(diǎn)評(píng) 本題考查棱錐S-ABC的體積的最大值，球的內(nèi)含體與三棱錐的關(guān)系，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．