【題目】如圖,在三棱錐P﹣ABC中,△ABC是邊長為2的正三角形,∠PCA=90°,E,H分別為AP,AC的中點(diǎn),AP=4,BE= .
(Ⅰ)求證:AC⊥平面BEH;
(Ⅱ)求直線PA與平面ABC所成角的正弦值.
【答案】證明:(Ⅰ)因?yàn)椤鰽BC是邊長為2的正三角形,
所以BH⊥AC.
又因?yàn)镋,H分別為AP,AC的中點(diǎn),得EH∥PC,
因?yàn)椤螾CA=90°,
所以EH⊥AC.
故AC⊥平面BEH.
(Ⅱ)解:取BH得中點(diǎn)G,連接AG.
因?yàn)镋H=BH=BE=,所以EG⊥BH.
又因?yàn)锳C⊥平面BEH,所以EG⊥AC,
所以EG⊥平面ABC.
所以∠EAG為PA與平面ABC所成的角.
在直角三角形EAG中,AE=2,EG=,
所以\sin∠EAG==.
所以PA與平面ABC所成的角的正弦值為.
【解析】(Ⅰ)證明:BH⊥AC,EH⊥AC,即可證明AC⊥平面BEH;
(Ⅱ)取BH得中點(diǎn)G,連接AG,證明∠EAG為PA與平面ABC所成的角,即可求直線PA與平面ABC所成角的正弦值.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了空間角的異面直線所成的角的相關(guān)知識點(diǎn),需要掌握已知為兩異面直線,A,C與B,D分別是上的任意兩點(diǎn),所成的角為,則才能正確解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓C: =1(a>b>0)的焦點(diǎn)F1 , F2 , 過右焦點(diǎn)F2的直線l與C相交于P、Q兩點(diǎn),若△PQF1的周長為短軸長的2 倍.
(1)求C的離心率;
(2)設(shè)l的斜率為1,在C上是否存在一點(diǎn)M,使得 ?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
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【題目】設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對邊的長分別為a,b,c,則下列命題正確的是(寫出所有正確命題的編號).
①若ab>c2 , 則C<
②若a+b>2c,則C<
③若a3+b3=c3 , 則C<
④若(a+b)c≤2ab,則C>
⑤若(a2+b2)c2≤2a2b2 , 則C> .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知F1是橢圓5x2+9y2=45的左焦點(diǎn),P為橢圓上半部分任意一點(diǎn),A(1,1)為橢圓內(nèi)一點(diǎn),則|PA|+|PF1|的最小值_______________
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【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)),在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin()=2 .
(Ⅰ)求曲線C和直線l在該直角坐標(biāo)系下的普通方程;
(Ⅱ)動(dòng)點(diǎn)A在曲線C上,動(dòng)點(diǎn)B在直線l上,定點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣2,2),求|PB|+|AB|的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) , 其中a∈R.若對任意的非零實(shí)數(shù)x1 , 存在唯一的非零實(shí)數(shù)x2(x1≠x2),使得f(x1)=f(x2)成立,則k的取值范圍為( 。
A.k≤0
B.k≥8
C.0≤k≤8
D.k≤0或k≥8
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),人們長期食用含高濃度甲基汞的魚類會引起汞中毒,其中羅非魚體內(nèi)汞含量比其它魚偏高.現(xiàn)從一批數(shù)量很大的羅非魚中隨機(jī)地抽出15條作樣本,經(jīng)檢測得各條魚的汞含量的莖葉圖(以小數(shù)點(diǎn)前的數(shù)字為莖,小數(shù)點(diǎn)后一位數(shù)字為葉)如圖.《中華人民共和國環(huán)境保護(hù)法》規(guī)定食品的汞含量不得超過1.0ppm.
(Ⅰ)檢查人員從這15條魚中,隨機(jī)抽出3條,求3條中恰有1條汞含量超標(biāo)的概率;
(Ⅱ)若從這批數(shù)量很大的魚中任選3條魚,記ξ表示抽到的汞含量超標(biāo)的魚的條數(shù).以此15條魚的樣本數(shù)據(jù)來估計(jì)這批數(shù)量很大的魚的總體數(shù)據(jù),求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=sinx(sinx+cosx).
(1)求f(x)的最小正周期和最大值;
(2)在銳角三角形ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若f()=1,a=2 , 求三角形ABC面積的最大值.
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【題目】已知橢圓的離心率為,短軸長為,右焦點(diǎn)為 (1) 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2) 若直線經(jīng)過點(diǎn)且與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),過點(diǎn)作直線交橢圓于另一點(diǎn) ①證明:當(dāng)直線與直線的斜率,均存在時(shí),.為定值;②求面積的最小值。
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