Question

18．以下判斷正確的是（　　）

• A． 命題“負(fù)數(shù)的平方是正數(shù)”不是全稱命題
• B． 命題“?x∈N，x³＞x”的否定是“?x∈N，x³＞x”
• C． “a=1”是“函數(shù)f（x）=sin 2ax的最小正周期為π”的必要不充分條件
• D． “b=0”是“函數(shù)f（x）=ax²+bx+c是偶函數(shù)”的充要條件

Answer 1

分析 A，命題“負(fù)數(shù)的平方是正數(shù)”的含義為“任意一個(gè)負(fù)數(shù)的平方都是正數(shù)”，是全稱命題，可判斷A；
B，寫出命題“?x∈N，x³＞x”的否定，可判斷B；
C，利用充分必要條件的概念，從充分性與必要性兩個(gè)方面可判斷C；
D，利用充分必要條件的概念與偶函數(shù)的定義可判斷D．

解答 解：對(duì)于A，命題“負(fù)數(shù)的平方是正數(shù)”是全稱命題，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，命題“?x∈N，x³＞x”的否定是“?x∈N，x³≤x”，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，a=1時(shí)，函數(shù)f（x）=sin 2ax=sin2x，其最小正周期為T=$\frac{2π}{2}$=π，充分性成立；
反之，若函數(shù)f（x）=sin2ax的最小正周期T=$\frac{2π}{|a|}$=π，則a=±1，必要性不成立；
∴“a=1”是函數(shù)f（x）=sin2ax的最小正周期為π的充分不必要條件，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，b=0時(shí)，函數(shù)f（x）=ax²+c，f（-x）=a（-x）²+c=ax²+c=f（x），y=f（x）是偶函數(shù)，充分性成立；
反之，若函數(shù)f（x）=ax²+bx+c是偶函數(shù)，則f（-x）=f（x），即ax²-bx+c=ax²+bx+c，得bx=0恒成立，即b=0，必要性成立．
∴“b=0”是“函數(shù)f（x）=ax²+bx+c是偶函數(shù)”的充要條件，故D正確．
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查全稱命題與特稱命題之間的轉(zhuǎn)化及充分必要條件的概念及應(yīng)用，考查函數(shù)的周期性與奇偶性，屬于中檔題．