Question

20．已知Rt△AOB的面積為1，O為直角頂點(diǎn)，設(shè)向量$\overrightarrow{a}$═$\frac{\overrightarrow{OA}}{|\overrightarrow{OA}|}$，$\overrightarrow$=$\frac{\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OB}|}$，$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$，則$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最大值為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 以O(shè)為原點(diǎn)，OA所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)A（m，0），B（0，n），由題意可得mn=2，求得向量OP的坐標(biāo)，運(yùn)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合基本不等式即可得到最大值．

解答 解：以O(shè)為原點(diǎn)，OA所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，
設(shè)A（m，0），B（0，n），則$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow$=（0，1），
$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$=（1，2），$\overrightarrow{PA}$=（m-1，-2），$\overrightarrow{PB}$=（-1，n-2），
Rt△AOB的面積為1，即有mn=2，
則$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=1-m-2（n-2）
=5-（m+2n）≤5-2$\sqrt{2mn}$=5-2×2=1．
當(dāng)且僅當(dāng)m=2n=2時(shí)，取得最大值1．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查向量數(shù)量積的最值的求法，注意運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合基本不等式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．