Question

3．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S₁=2，$\frac{{S}_{n+1}}{n+1}$=$\frac{{S}_{n}}{n}$+1，數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，b_n+1=（$\sqrt{2}$）${\;}^{{a}_{n}}$．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{c_n}滿足c_n=a_n（b_n+1），求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）S₁=2，$\frac{{S}_{n+1}}{n+1}$=$\frac{{S}_{n}}{n}$+1，即$\frac{{S}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{S}_{n}}{n}$=1，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得S_n．再利用遞推關(guān)系可得a_n．代入數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，b_n+1=（$\sqrt{2}$）${\;}^{{a}_{n}}$．可得b_n．
（2）利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（1）S₁=2，$\frac{{S}_{n+1}}{n+1}$=$\frac{{S}_{n}}{n}$+1，即$\frac{{S}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{S}_{n}}{n}$=1，
∴數(shù)列$\{\frac{{S}_{n}}{n}\}$是等差數(shù)列，首項(xiàng)為2，公差為1．
∴$\frac{{S}_{n}}{n}$=2+n-1=n+1，
∴S_n=n²+n．
∴n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n²+n-[（n-1）²+（n-1）]=2n．
當(dāng)n=1時(shí)上式也成立，
∴a_n=2n．
∵數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，b_n+1=（$\sqrt{2}$）${\;}^{{a}_{n}}$．
∴b_n=2ⁿ-1．
（2）c_n=a_n（b_n+1）=2n•2ⁿ=n•2ⁿ⁺¹，
∴數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n=2²+2•2³+3×2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，
∴2T_n=2³+2×2⁴+…+（n-1）•2ⁿ⁺¹+n•2ⁿ⁺²，
∴-T_n=2²+2³+…+2ⁿ⁺¹-n•2ⁿ⁺²=$\frac{4（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n•2ⁿ⁺²=（1-n）•2ⁿ⁺²-4，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺²+4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“錯(cuò)位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．