Question

13．設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x²-2ax+4a（a是實(shí)數(shù)）
（1）當(dāng)x＜0時(shí)，求f（x）的解析式；
（2）試討論函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，從而由偶函數(shù)求解析式；
（2）以△的正負(fù)討論方程的根的個(gè)數(shù)，再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

解答 解：（1）當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，
則f（x）=f（-x）=（-x）²-2a（-x）+4a
=x²+2ax+4a；
（2）①當(dāng)△=4a²-16a=4a（a-4）＜0，
即0＜a＜4時(shí)，
方程x²-2ax+4a=0無解，
結(jié)合函數(shù)的奇偶性知，
函數(shù)y=f（x）沒有零點(diǎn)；
②當(dāng)△=0，即a=0或a=4時(shí)，
當(dāng)a=0時(shí)，代入可求得函數(shù)y=f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)0，
當(dāng)a=4時(shí)，代入可求得函數(shù)y=f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)4，-4；
③當(dāng)△＞0，即a＜0或a＞4時(shí)，
當(dāng)a＜0時(shí)，方程x²-2ax+4a=0有一正一負(fù)兩個(gè)根，
故函數(shù)y=f（x）在[0，+∞）上有一個(gè)零點(diǎn)，
由偶函數(shù)知，函數(shù)y=f（x）在（-∞，0）上有一個(gè)零點(diǎn)，
故函數(shù)y=f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)a＞4時(shí)，方程x²-2ax+4a=0有兩個(gè)正根，
故函數(shù)y=f（x）在[0，+∞）上有兩個(gè)零點(diǎn)，
由偶函數(shù)知，函數(shù)y=f（x）在（-∞，0）上有兩個(gè)零點(diǎn)，
故函數(shù)y=f（x）有4個(gè)零點(diǎn)；
綜上所述，
①當(dāng)0＜a＜4時(shí)，函數(shù)y=f（x）沒有零點(diǎn)；
②當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)y=f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)；
③當(dāng)a=4或a＜0時(shí)，函數(shù)y=f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)；
④當(dāng)a＞4時(shí)，函數(shù)y=f（x）有4個(gè)零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分類討論的思想應(yīng)用及函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用．