Question

15．已知函數(shù)f（x）=x|x-a|，g（x）=-2x+3，若存在不相等的實數(shù)x₁，x₂，f（x₁）-f（x₂）=g（x₁）-g（x₂），則實數(shù)a的取值范圍為（-∞，-2）∪（2，+∞）．

Answer 1

分析 由題意可得f（x₁）-g（x₁）=f（x₂）-g（x₂），設(shè)函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）=x|x-a|-（3-2x），由題意可得h（x）為不單調(diào)函數(shù)，考慮h（x）為單調(diào)函數(shù)，且為增函數(shù)，即可得到所求a的范圍．

解答 解：存在不相等的實數(shù)x₁，x₂，f（x₁）-f（x₂）=g（x₁）-g（x₂），
即有f（x₁）-g（x₁）=f（x₂）-g（x₂），
設(shè)函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）=x|x-a|-（3-2x），
由題意可得h（x）為不單調(diào)函數(shù)，
若h（x）為單調(diào)函數(shù)，且為遞增函數(shù)，
由h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+（2-a）x-3，x≥a}\\{{-x}^{2}+（2+a）x-3，x＜a}\end{array}\right.$，
可得a≥$\frac{a-2}{2}$，且a≤$\frac{a+2}{2}$，
解得-2≤a≤2，
則有a＞2或a＜-2時，函數(shù)h（x）不單調(diào)．
故答案為：（-∞，-2）∪（2，+∞）．

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性的運用，考查二次函數(shù)的單調(diào)性的判斷，注意對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，考查運算能力，屬于中檔題．