Question

3．在平面直角坐標系xOy中，已知曲線M上的任意一點到原點O的距離與到A（3，-6）的距離之比為$\frac{1}{2}$，點P（1，-2）．
（1）求曲線M的方程；
（2）過點P作兩條相異直線分別與曲線M相交于B，C，且直線PB和直線PC的傾斜角互補，求證：直線BC的斜率為定值．

Answer 1

分析 （1）利用直接法，建立方程，即可求曲線C的方程．
（2）直線與圓的方程聯(lián)立，求出A，B的坐標，利用斜率公式，即可證明直線BC的斜率為定值．

解答 解：（1）設曲線M上任意一點為Q（x，y），由題意得$\frac{{|{OQ}|}}{{|{AQ}|}}=\frac{{\sqrt{{x^2}+{y^2}}}}{{\sqrt{{{（{x-3}）}^2}+{{（{y+6}）}^2}}}}=\frac{1}{2}⇒{（{x+1}）^2}+{（{y-2}）^2}=20$，此即為曲線M的方程．
（2）由題意知，直線PB和直線PC的斜率存在，且互為相反數(shù)，故可設直線PB的方程為：y+2=k（x-1），
由$\left\{\begin{array}{l}y+2=k（{x-1}）\\{（{x+1}）^2}+{（{y+2}）^2}=20\end{array}\right.⇒（{1+{k^2}}）{x^2}+2（{1-{k^2}-4k}）x+{k^2}+8k-3=0$，
因為點P的橫坐標x=1一定是該方程的解，故可得${x_B}=\frac{{{k^2}+8k-3}}{{1+{k^2}}}$，同理${x_C}=\frac{{{k^2}-8k-3}}{{1+{k^2}}}$（以-k為k），
所以${k_{BC}}=\frac{{{y_C}-{y_B}}}{{{x_C}-{x_B}}}=\frac{{-k（{{x_C}-1}）-k（{{x_B}-1}）}}{{{x_C}-{x_B}}}=\frac{{2k-k（{{x_C}+{x_B}}）}}{{{x_C}-{x_B}}}=-\frac{1}{2}$．
故直線BC的斜率為定值$-\frac{1}{2}$．

點評 本題考查軌跡方程，考查直線的斜率為定值的證明，考查學生的計算能力，是中檔題．