Question

18．已知函數(shù)f（x）=lnx+ax，g（x）=f（x）-ax+$\frac{a}{x-1}$．
（1）若函數(shù)y=f（x）在x=1處取得極值，求實數(shù)a的值；
（2）若函數(shù)y=g（x）在（0，$\frac{1}{e}$）內(nèi)有極值，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，對任意t∈（1，+∞），s∈（0，1）．求證：g（t）-g（s）＞e-$\frac{1}{e}$+2．

Answer 1

分析 （1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用f′（1）=0，解方程即可．
（2）先化簡函數(shù)g（x），根據(jù)函數(shù)y=g（x）在（0，$\frac{1}{e}$）內(nèi)有極值，建立方程關(guān)系進行求解即可．
（3）根據(jù)g（x）的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)g（x）的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和不等式之間的關(guān)系進行證明即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），
則f′（x）=$\frac{1}{x}$+a，
若函數(shù)y=f（x）在x=1處取得極值，
則f′（1）=0，即1+a=0，
則a=-1
（2）g（x）=f（x）-ax+$\frac{a}{x-1}$=lnx+ax-ax+$\frac{a}{x-1}$=lnx+$\frac{a}{x-1}$．
∵函數(shù)g（x）=lnx+$\frac{a}{x-1}$在（0，$\frac{1}{e}$）內(nèi)有極值
∴g′（x）=0在（0，$\frac{1}{e}$）內(nèi)有解，令h（x）=x²-（a+2）x+1=（x-α）（x-β）
∵αβ=1，不妨設(shè)0＜α＜$\frac{1}{e}$，則β＞e
∵h（0）=1＞0，
∴h（$\frac{1}{e}$）=$\frac{1}{{e}^{2}}$-$\frac{a+2}{e}$+1＜0，
∴a＞e+$\frac{1}{e}$-2；
（3）證明：由g′（x）＞0，可得0＜x＜α或x＞β；由g′（x）＜0，可得α＜x＜1或1＜x＜β
∴g（x）在（0，α）內(nèi)遞增，在（α，1）內(nèi)遞減，在（1，β）內(nèi)遞減，在（β，+∞）遞增
由s∈（0，1），可得g（s）≤g（α）=lnα+$\frac{a}{α-1}$，
由t∈（1，+∞），可得g（t）≥g（β）=lnβ+$\frac{a}{β-1}$，
∴g（t）-g（s）≥g（β）-g（α）
∵αβ=1，α+β=a+2
∴g（β）-g（α ）=2lnβ+a×$\frac{α-β}{（β-1）（α-1）}$=2lnβ+a×$\frac{\frac{1}{β}-β}{2-（a+2）}$=2lnβ+β-$\frac{1}{β}$，
記h（β）=2lnβ+β-$\frac{1}{β}$（β＞e）
則h′（β）=$\frac{2}{β}$+1+$\frac{1}{{β}^{2}}$＞0，h（β）在（0，+∞）上單調(diào)遞增
∴h（β）＞h（e）=e+2-$\frac{1}{e}$，
∴g（t）-g（s）＞e-$\frac{1}{e}$+2．

點評 本題以函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的極值與單調(diào)性，考查不等式的證明，綜合性比較強．難度較大．