20．已知直線y=kx+1，當(dāng)k變化時(shí)，此直線被橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y2=1截得的最大弦長(zhǎng)是（　�。�
A．4B．$\frac{4\sqrt{3}}{3}$C．$\sqrt{3}$D．$\frac{2\sqrt{3}}{3}$

分析 直線y=kx+1恒過(guò)定點(diǎn)P（0，1），且是橢圓的短軸上頂點(diǎn)，因而此直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)，即為點(diǎn)P與橢圓上任意一點(diǎn)Q的距離，設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)Q（2cosθ，sinθ），利用三角函數(shù)即可得到結(jié)論．

解答 解：直線y=kx+1恒過(guò)定點(diǎn)P（0，1），且是橢圓的短軸上頂點(diǎn)，
因而此直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)，即為點(diǎn)P與橢圓上任意一點(diǎn)Q的距離，
設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)Q（2cosθ，sinθ）
∴|PQ|2=（2cosθ）2+（sinθ-1）2=-3sin2θ-2sinθ+5，
∴當(dāng)sinθ=-$\frac{1}{3}$時(shí)，|PQ|2max=$\frac{16}{3}$，
∴直線被橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y2=1截得的最大弦長(zhǎng)|PQ|max=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角函數(shù)知識(shí)，解題的關(guān)鍵是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P與橢圓上任意一點(diǎn)Q的距離的最大值．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

10．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的短軸長(zhǎng)為2，離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)M（2，0）的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)1為橢圓的左焦點(diǎn)．
（1）若B點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是N，證明：直線AN恒過(guò)一定點(diǎn)；
（2）試求橢圓C上是否存在點(diǎn)P，使F1APB為平行四邊形？若存在，求出F1APB的面積，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

11．設(shè)a，b，c大于0，則3個(gè)數(shù)：$a+\frac{1}$+1，$b+\frac{1}{c}$+1，$c+\frac{1}{a}$+1的值（　�。�
A．都大于3B．至多有一個(gè)不大于3
C．都小于3D．至少有一個(gè)不小于3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：填空題

8．橢圓M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），A為長(zhǎng)軸的一個(gè)頂點(diǎn)，B為短軸的一個(gè)頂點(diǎn)，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，且AB⊥BF，則橢圓M的離心率e為$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

15．已知極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與x軸的正半軸重合，圓C的極坐標(biāo)方程是ρ=asinθ，直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{3}{5}t+2}\\{y=\frac{4}{5}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）
（1）若a=2，直線l與x軸的交點(diǎn)是M，N是圓C上一動(dòng)點(diǎn)，求|MN|的最大值；
（2）直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)等于圓C的半徑的$\sqrt{3}$倍，求a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：填空題

5．若AB為過(guò)橢圓$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1中心的線段，點(diǎn)A、B為橢圓上的點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則四邊形F1AF2B面積的最大值是8．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：填空題

12．如圖，設(shè)橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)焦點(diǎn)F1的直線交橢圓于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，若△ABF2的內(nèi)切圓的面積為π，則|y1-y2|=3．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

9．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為${F_1}（-2\sqrt{3}，0），{F_2}（2\sqrt{3}，0）$，且離心率$e=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（1）求橢圓的方程；
（2）求以點(diǎn)P（2，-1）為中點(diǎn)的弦所在的直線方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

10．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若b=2$\sqrt{3}$．B=120°，C=30°，則a=（　�。�
A．1B．$\sqrt{2}$C．$\sqrt{3}$D．2

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