Question

5．如圖，四棱錐S-ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，CD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$BC，若CD=1，SD=$\sqrt{7}$，且SA=SB=2．
（1）證明：CD⊥SD；
（2）求二面角B-SC-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取AB中點(diǎn)O，并連接DO，根據(jù)已知條件容易說明OB，OD，OS三直線兩兩垂直，從而可分別以這三直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，從而求出向量$\overrightarrow{CD}，\overrightarrow{SD}$的坐標(biāo)，計(jì)算$\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{SD}=0$即可；
（2）設(shè)平面BSC的法向量為$\overrightarrow{{n}_{1}}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$，根據(jù)$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{BS}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{BC}=0}\end{array}\right.$即可求出法向量$\overrightarrow{{n}_{1}}$，同樣的辦法可求出平面DSC的法向量$\overrightarrow{{n}_{2}}=（{x}_{2}，{y}_{2}，{z}_{2}）$，設(shè)二面角B-SC-D的大小為θ，則由cos$θ=-cos＜\overrightarrow{{n}_{1}}，\overrightarrow{{n}_{2}}＞$即可求得答案．

解答 解：（1）證明：取AB中點(diǎn)為O，連接OD，則OD=2；
根據(jù)已知條件，△SAB為等邊三角形且邊長為2，∴OS=$\sqrt{3}$，又SD=$\sqrt{7}$；
∴OD²+OS²=SD²；
∴OS⊥OD，OS⊥AB，AB∩OD=O；
∴OS⊥底面ABCD；
∴OB，OD，OS三直線兩兩垂直，所以分別以這三直線為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則：
B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0），S（0，0，$\sqrt{3}$）；
∴$\overrightarrow{CD}=（-1，0，0）$，$\overrightarrow{SD}=（0，2，-\sqrt{3}）$；
∴$\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{SD}=0$；
∴$\overrightarrow{CD}⊥\overrightarrow{SD}$；
∴CD⊥SD；
（2）設(shè)平面BSC的法向量為$\overrightarrow{{n}_{1}}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$，則$\overrightarrow{{n}_{1}}⊥\overrightarrow{BS}，\overrightarrow{{n}_{1}}⊥\overrightarrow{BC}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{BS}=-{x}_{1}+\sqrt{3}{z}_{1}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{BC}=2{y}_{1}=0}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\sqrt{3}{z}_{1}}\\{{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，取z₁=1，則$\overrightarrow{{n}_{1}}=（\sqrt{3}，0，1）$；
同樣可求得平面DSC的法向量$\overrightarrow{{n}_{2}}=（0，\frac{\sqrt{3}}{2}，1）$；
設(shè)二面角B-SC-D的大小為θ，則cosθ=$-cos＜\overrightarrow{{n}_{1}}，\overrightarrow{{n}_{2}}＞$=$-\frac{1}{2•\frac{\sqrt{7}}{2}}=-\frac{\sqrt{7}}{7}$；
∴二面角B-SC-D的余弦值為$-\frac{\sqrt{7}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 考查直角三角形邊的關(guān)系，線面垂直的判定定理，以及通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量證明線線垂直、求二面角的方法，兩非零向量垂直的充要條件，平面法向量的概念及求法，二面角平面角大小和兩平面法向量夾角的關(guān)系，向量夾角余弦的坐標(biāo)公式．