Question

2．已知在某兩個(gè)正數(shù)x，y之間，若插入一個(gè)數(shù)a，使x，a，y成等差數(shù)列，若插入兩個(gè)數(shù)b，c，使x，b，c，y成等比數(shù)列．求證：（a+1）²≥（b+1）（c+1）．

Answer 1

分析 根據(jù)等差、等比中項(xiàng)的性質(zhì)列出方程組，消去x、y化簡得 到關(guān)于a、b、c的關(guān)系，利用分析法、基本不等式、立方和公式化簡證明結(jié)論成立．

解答 證明：∵x，a，y成等差數(shù)列、且x、y＞0，x，b，c，y成等比數(shù)列，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a=x+y}\\{bc=xy}\\{^{2}=xc}\\{{c}^{2}=by}\end{array}\right.$，消去x、y化簡可得2a=$\frac{^{2}}{c}+\frac{{c}^{2}}$，
要證：（a+1）²≥（b+1）（c+1），
只要證：a+1≥$\sqrt{（b+1）（c+1）}$，
又$\sqrt{（b+1）（c+1）}≤\frac{b+c+2}{2}$=$\frac{b+c}{2}$+1，
只要證：a≥$\frac{b+c}{2}$，即2a≥b+c，
∵2a=$\frac{^{2}}{c}+\frac{{c}^{2}}$，∴$\frac{^{2}}{c}+\frac{{c}^{2}}$≥b+c，
即b³+c³≥bc（b+c），
（b+c）（b²-bc+c²）≥bc（b+c），
∴b²-bc+c²≥bc，
則b²-2bc+c²=（b+c）²≥0顯然成立，
所以a+1）²≥（b+1）（c+1）成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差、等比中項(xiàng)的性質(zhì)，分析法、基本不等式、立方和公式，以及化簡、變形能力，屬于中檔題．