Question

18．在△ABC中，a²+b²+c²=2$\sqrt{3}$bcsinA，則△ABC的形狀是（　�。�

• A． 直角三角形
• B． 銳角三角形
• C． 鈍角三角形
• D． 等邊三角形

Answer 1

分析 在△ABC中，a²+b²+c²=2$\sqrt{3}$bcsinA，由余弦定理知，b²+c²-a²=2bccosA，兩式相加，利用基本不等式及正弦函數(shù)的有界性即可判斷出該△ABC的形狀．

解答 解：∵在△ABC中，a²+b²+c²=2$\sqrt{3}$bcsinA，
又由余弦定理知，b²+c²-a²=2bccosA，
兩式相加得：2（c²+b²）=2bc（$\sqrt{3}$sinA+cosA）=4bcsin（A+$\frac{π}{6}$），
∴sin（A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{{c}^{2}+^{2}}{2bc}$≥$\frac{2bc}{2bc}$=1（當(dāng)且僅當(dāng)c=b時(shí)取“=”），又sin（A+$\frac{π}{6}$）≤1，
∴sin（A+$\frac{π}{6}$）=1（當(dāng)且僅當(dāng)c=b時(shí)成立），A為△ABC的內(nèi)角，
∴A+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，A=$\frac{π}{3}$，又c=b，
∴△ABC的形狀為等邊△．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形形狀的判斷，求得sin（A+$\frac{π}{6}$）=1是關(guān)鍵，考查余弦定理、輔助角公式、基本不等式及正弦函數(shù)的有界性，屬于難題．