Question

7．已知{a_n}是等差數(shù)列，且a₁=1，a₁+a₂+a₃=6，令b_n=a_n•2ⁿ，求{b_n}的前n項(xiàng)的和T_n．

Answer 1

分析 由已知條件，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出首項(xiàng)和公差，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，代入b_n=a_n•2ⁿ，利用錯(cuò)位相減法能求出{b_n}的前n項(xiàng)的和T_n．

解答 解：∵{a_n}是等差數(shù)列，且a₁=1，a₁+a₂+a₃=6，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{3{a}_{1}+3d=6}\end{array}\right.$，
解得a₁=1，d=1，
∴a_n=1+（n-1）×1=n，
則b_n=a_n•2ⁿ，
∴T_n=1•2+2•2²+…+n•2ⁿ，①
2T_n=1•2²+2•2³+…+n•2ⁿ⁺¹，②
②-①，得：
T_n=-2-2²-…-2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹
=-$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$+n•2ⁿ⁺¹
=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式，訓(xùn)練了錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，是中檔題．