Question

7．已知拋物線x²=4py（p＞0）的焦點為F，直線y=x+2與該拋物線交于A，B兩點，M是線段AB的中點，過M作x軸的垂線，垂足為N，若$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{BF}$+（${\overrightarrow{AF}$+$\overrightarrow{BF}}$）•$\overrightarrow{FN}$=-1-5p²，則p的值為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），把y=x+2代入x²=4py得x²-4px-8p=0．利用韋達(dá)定理，結(jié)合向量的數(shù)量積公式，即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），把y=x+2代入x²=4py得x²-4px-8p=0．
由韋達(dá)定理得x₁+x₂=4p，x₁x₂=-8p，所以M（2p，2p+2），所以N點（2p，0）．
同理y₁+y₂=4p+4，y₁y₂=4，
∵$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{BF}$+（${\overrightarrow{AF}$+$\overrightarrow{BF}}$）•$\overrightarrow{FN}$=-1-5p²，
∴（-x₁，p-y₁）•（-x₂，p-y₂）+（-x₁-x₂，2p-y₁-y₂）•（2p，-p）=-1-5p²，
代入整理可得4p²+4p-3=0，
∴p=$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．