Question

3．已知A（-2，0），B（2，0）為橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右頂點，離心率e=$\frac{1}{2}$，P是橢圓C上異于A，B的動點．
（1）求證：k_PA•k_PB為定值；
（2）過點Q（1，0）作兩條互相垂直的直線l₁，l₂，分別交曲線C于E，F(xiàn)，G，H，求四邊形EFGH面積的最小值及取得最小值時直線l₁，l₂的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意可得a=2，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，求得c=1，由a，b，c的關(guān)系，可得b，進而得到橢圓方程，設(shè)出P的坐標，代入橢圓方程，再由斜率公式，即可得證；
（2）分斜率存在與存在分別討論，利用直線與橢圓聯(lián)立，根據(jù)韋達定理及弦長公式，確定面積的表達式，運用基本不等式可得最值，即可求得結(jié)論．

解答 解：（1）證明：由橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
由題意可得a=2，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
解得c=1，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
設(shè)P（m，n），即有$\frac{{m}^{2}}{4}$+$\frac{{n}^{2}}{3}$=1，即$\frac{{n}^{2}}{3}$=-$\frac{{m}^{2}-4}{4}$，
則k_PA•k_PB=$\frac{n}{m+2}$•$\frac{n}{m-2}$=$\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}-4}$=-$\frac{3}{4}$；
（2）由直線l₁，l₂垂直．
（ⅰ）若l₁，l₂中一條斜率不存在，另一條斜率為0，
則四邊形EFGH的面積S=$\frac{1}{2}$•2a•$\frac{2^{2}}{a}$=2b²=6；
（ⅱ）若l₁，l₂的斜率均存在，
設(shè)l₁：y=k（x-1）與橢圓方程聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，
消去y可得（3+4k²）x-8k²x+4k²-12=0，
由（1，0）為橢圓的焦點，則△＞0，
設(shè)E（x₁，y₁），G（x₂，y₂），
則x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
∴|EG|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{64{k}^{4}}{（3+4{k}^{2}）^{2}}-\frac{16{k}^{2}-48}{3+4{k}^{2}}}$=$\frac{12（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$；
同理可得|FH|=$\frac{12（1+{k}^{2}）}{4+3{k}^{2}}$．
∴S=$\frac{1}{2}$|EG|•|FH|=72•$\frac{{k}^{4}+2{k}^{2}+1}{12{k}^{4}+25{k}^{2}+12}$=$\frac{72}{12+\frac{{k}^{2}}{{k}^{4}+2{k}^{2}+1}}$=$\frac{72}{12+\frac{1}{{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}+2}}$，
由k²+$\frac{1}{{k}^{2}}$≥2，（k=±1）時取得等號），
可得$\frac{288}{49}$≤S＜6．
由（�。�（ⅱ）知，S_min=$\frac{288}{49}$，S_max=6．
故面積取得最小值$\frac{288}{49}$，直線l₁，l₂的方程分別為y=x-1，y=-x+1．

點評 本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理的運用，正確表示四邊形EFGH的面積是關(guān)鍵．