Question

8．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，短軸的一個端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為$\sqrt{3}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)傾斜角為30°的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求弦AB的長．

Answer 1

分析 （1）由題意可得a=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，再由離心率公式和a，b，c的關(guān)系，解方程可得b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）設(shè)傾斜角為30°的直線l為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+t，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，再由點(diǎn)到直線的距離公式，求得t，代入計算即可得到所求值．

解答 解：（1）由題意可得a=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，解得b=1，c=$\sqrt{2}$，
可得橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1；
（2）設(shè)傾斜角為30°的直線l為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+t，
代入橢圓方程x²+3y²=3，
可得2x²+2$\sqrt{3}$tx+3t²-3=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
即有x₁+x₂=-$\sqrt{3}$t，x₁x₂=$\frac{3{t}^{2}-3}{2}$，
可得弦長|AB|=$\sqrt{1+\frac{1}{3}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$•$\sqrt{3{t}^{2}-2（3{t}^{2}-3）}$
=2$\sqrt{2-{t}^{2}}$，
由坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，可得
$\frac{|t|}{\sqrt{1+\frac{1}{3}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得t=±$\frac{2}{3}$，
可得弦長AB為2$\sqrt{2-\frac{4}{9}}$=$\frac{2\sqrt{14}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用離心率公式和a，b，c的關(guān)系，考查直線和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．